微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{49 x^{2} - 4} + 3}{x + 3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$49 x^{2}$ を ${(7 x)}^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{{(7 x)}^{2} - 4} + 3}{x + 3}$

ステップ 1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{{(7 x)}^{2} - 2^{2}} + 3}{x + 3}$

ステップ 1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 7 x$ であり、 $b = 2$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(7 x + 2) (7 x - 2)} + 3}{x + 3}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 3.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (7 x + 2) (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x (7 x - 2) + 2 (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x \cdot 7 x + 7 x \cdot - 2 + 2 (7 x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 x \cdot 7 x + 7 x \cdot - 2 + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 \cdot 7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2 + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.4.2

$x$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 7 \cdot 7 x \cdot x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.4.3

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x \cdot x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1} x + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1} x^{1} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{1 + 1} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} + 7 \cdot - 2 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.2.1

$7$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 14 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 14 x + 14 x - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.3

$- 14 x$ と $14 x$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.8.4

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 49 x^{2} - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.2.9

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(7 x + 2) (7 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(7 x + 2) (7 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = 7 x + 2$ および $g (x) = 7 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) \frac{d}{d x} [7 x - 2] + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.3

総和則では、 $7 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.4

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.6

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) (7 + 0) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.8

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(7 x + 2) \cdot 7 + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.9

$7$ を $7 x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot (7 x + 2) + (7 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.10

総和則では、 $7 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.11

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.13

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.14

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.15

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + (7 x - 2) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.16

$7$ を $7 x - 2$ の左に移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 (7 x + 2) + 7 \cdot (7 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot 7 x + 7 \cdot 2 + 7 (7 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{7 \cdot 7 x + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.17.3.1

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.3.2

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 7 \cdot 7 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.3.3

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 49 x + 7 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.3.4

$7$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x + 14 + 49 x - 14}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.3.5

$49 x$ と $49 x$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x + 14 - 14}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.3.6

$14$ から $14$ を引きます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.17.3.7

$98 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.3.18

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{98 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$98$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

$2$ を $98 x$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 (x)}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 49 x}{2 x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x}{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{49 x}{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 4.4.2.2

$49$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 49} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $49$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{49} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 5.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{49} + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

ステップ 7.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

ステップ 7.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{49} + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{7^{2}} + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9.1.3

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{7 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9.1.4

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7}{1 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{7}{1 + 0}$

ステップ 9.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7}{1}$

ステップ 9.3

$7$ を $1$ で割ります。

$7$

微分積分 例

微分積分例