微分積分例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cos (π x)}{e^{x} - \sqrt{e}}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

ステップ 2

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

ステップ 3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (lim_{x \to \frac{1}{2}} π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

ステップ 4

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

ステップ 5

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

ステップ 7

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $\sqrt{e}$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

ステップ 8

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

ステップ 8.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

ステップ 8.3

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $\cos (π \frac{1}{2})$ をまとめます。

$\frac{\frac{\cos (π \frac{1}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

ステップ 9.2.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

ステップ 9.3

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

ステップ 9.4

$0$ を $e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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