微分積分例

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 1

$1$ と $- x$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

ステップ 2

$x$ を $- x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 2.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $- x$ の最高次項で割ります。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

ステップ 2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 5

$u = - x + 1$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 5.2

$u = - x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0 + 1$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 5.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = - x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = - 2 + 1$

ステップ 5.5.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ および $0$ で $- x$ の値を求めます。

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

ステップ 9.2

$- 1$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

ステップ 11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

ステップ 11.3

$1$ を $1$ で割ります。

$- 2 - \ln (1)$

ステップ 11.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 2 - 0$

ステップ 11.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 + 0$

ステップ 11.6

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例