微分積分例

$\int \frac{4 x^{3}}{2 x + 3} d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{x^{3}}{2 x + 3} d x$

ステップ 2

$x^{3}$ を $2 x + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{x^{2}}{2}$
	$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$\frac{3 x^{2}}{2}$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

ステップ 2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.7

被除数 $- \frac{3 x^{2}}{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	-	$\frac{9 x}{4}$

ステップ 2.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$

ステップ 2.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$

ステップ 2.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

ステップ 2.12

被除数 $\frac{9 x}{4}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

ステップ 2.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$\frac{27}{8}$

ステップ 2.14

式は被除数から引く必要があるので、 $\frac{9 x}{4} + \frac{27}{8}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$

ステップ 2.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$
									-	$\frac{27}{8}$

ステップ 2.16

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$4 \int \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{8} - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 8

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{3}{4} \int x d x) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9}{8} x + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 12

$\frac{9}{8}$ と $x$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 13

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \int \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

ステップ 14

$\frac{27}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{27}{8}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - (\frac{27}{8} \int \frac{1}{2 x + 3} d x))$

ステップ 15

$u = 2 x + 3$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$u = 2 x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$2 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

ステップ 15.1.2

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 15.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 15.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 15.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 15.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 15.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 15.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

ステップ 16.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u} d u)$

ステップ 17

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{27}{8}$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{2 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 18.2

$2$ に $8$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 19

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} (\ln (| u |) + C))$

ステップ 20

簡約します。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| u |)}{16}) + C$

ステップ 21

$u$ のすべての発生を $2 x + 3$ で置き換えます。

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

ステップ 22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$\frac{x^{3}}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

ステップ 22.2

$- \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 22.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $48$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.3.1

$\frac{x^{3}}{6}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 22.3.2

$6$ に $8$ をかけます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 22.3.3

$\frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{16 \cdot 3}) + C$

ステップ 22.3.4

$16$ に $3$ をかけます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

ステップ 22.4

公分母の分子をまとめます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8 - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

ステップ 22.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.1

$8$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 \cdot x^{3} - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

ステップ 22.5.2

$3$ に $- 27$ をかけます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48}) + C$

ステップ 22.6

分配則を当てはめます。

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8}) + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.7.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.7.1.1

$- \frac{3 x^{2}}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 \frac{- 3 x^{2}}{8} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7.1.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 (2)} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7.1.3

共通因数を約分します。

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7.1.4

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.7.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 (2)} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 \cdot 2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

ステップ 22.7.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.7.3.1

$4$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 (12)} + C$

ステップ 22.7.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 \cdot 12} + C$

ステップ 22.7.3.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

ステップ 22.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

ステップ 23

項を並べ替えます。

$- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{1}{12} (8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

微分積分 例

微分積分例