微分積分例

$\tan^{4} (x)$

ステップ 1

$\tan^{4} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \tan^{4} (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \tan^{4} (x) d x$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

ステップ 4.2

${\tan (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

ステップ 6

簡約します。

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

ステップ 9

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

ステップ 10

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

ステップ 11.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 12

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 13

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 13.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 13.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 13.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

ステップ 14

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

ステップ 15

定数の法則を当てはめます。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

ステップ 16

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 17

簡約します。

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 18

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

ステップ 19

$- 2 \tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

ステップ 20

答えは関数 $f (x) = \tan^{4} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

微分積分 例

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