微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $- 2$ , $- 1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ を ${(x - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.5.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.7.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.8.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.9

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.2

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.2.2

$- 4 x^{2} + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2.3

$- 4 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.3

$2 x$ を $- 2 x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.3.1

$2 x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.3.2

$2 x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.3.3

$2 x$ を $2 x (- x) + 2 x (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4

$- x + 1$ と ${(x - 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.4.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.4

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.5

$x - 1$ を $2 x (- 1 (x - 1))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.4.6.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.1.5.4.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.1.5.4.6.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.1.5.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.1.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ です。

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 1.2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{1}$

ステップ 1.4.1.2.3

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

ステップ 1.4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{((- 2) - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{{(- 2 - 1)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{9}$

ステップ 3.2

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{{(- 1 - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, \frac{4}{9}), (- 1, \frac{1}{4})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 2, \frac{4}{9})$

最小値： $(- 1, \frac{1}{4})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例