微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $[1, \frac{5}{2}]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $3 x^{2} - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$6 x - 3 x^{2}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 6 x$ です。

$- 3 x^{2} + 6 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

ステップ 1.2.2

$- 3 x$ を $- 3 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 3 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$- 3 x$ を $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ で因数分解します。

$- 3 x (x - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $- 3 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{2} - x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 0$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$12 - {(2)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$12 - 1 \cdot 8$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$12 - 8$

ステップ 1.4.2.2.2

$12$ から $8$ を引きます。

$4$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (2, 4)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(2, 4)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$3 {(1)}^{2} - {(1)}^{3}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 - {(1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - {(1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$3 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 - 1$

ステップ 3.1.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$2$

ステップ 3.2

$x = \frac{5}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{5}{2}$ を $x$ に代入します。

$3 {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$3 \frac{5^{2}}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$3 \frac{25}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$3 (\frac{25}{4}) - {(\frac{5}{2})}^{3}$

ステップ 3.2.2.1.4

$3 (\frac{25}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.4.1

$3$ と $\frac{25}{4}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 25}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

ステップ 3.2.2.1.4.2

$3$ に $25$ をかけます。

$\frac{75}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

ステップ 3.2.2.1.5

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$\frac{75}{4} - \frac{5^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.2.2.1.6

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{75}{4} - \frac{125}{2^{3}}$

ステップ 3.2.2.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{75}{4} - \frac{125}{8}$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{75}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{75}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{8}$

ステップ 3.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.2.2.3.1

$\frac{75}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{75 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{125}{8}$

ステップ 3.2.2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{75 \cdot 2}{8} - \frac{125}{8}$

ステップ 3.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{75 \cdot 2 - 125}{8}$

ステップ 3.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.2.5.1

$75$ に $2$ をかけます。

$\frac{150 - 125}{8}$

ステップ 3.2.2.5.2

$150$ から $125$ を引きます。

$\frac{25}{8}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 2), (\frac{5}{2}, \frac{25}{8})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(2, 4)$

最小値： $(1, 2)$

ステップ 5

微分積分 例

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