微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$8$ を $9$ プラス $- 1$ に書き換える

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

ステップ 2.4

$a = 1$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

ステップ 3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

ステップ 4

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (\frac{u}{3})$ である

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

ステップ 7

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ を $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ に書き換えます。

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

ステップ 9.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

ステップ 9.3

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$

微分積分 例

微分積分例