微分積分例

$e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 1

$f (x) = e^{- x}$ および $g (x) = x^{2} + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 4.3.2

$- 1$ を $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

ステップ 4.3.3

$- 1 (x^{2} + 2 x)$ を $- (x^{2} + 2 x)$ に書き換えます。

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

ステップ 5.4

項をまとめます。

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ステップ 5.4.1

$2$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

ステップ 5.4.3

$e^{- x} (2 x)$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

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ステップ 5.4.3.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

ステップ 5.4.3.2

$2 x e^{- x}$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

ステップ 5.4.4

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

ステップ 5.5

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

ステップ 5.6

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

微分積分 例

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