微分積分例

$x \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1

$x \sqrt{4 - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

ステップ 4

$u = 4 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 4 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$4 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 4.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 5.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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