微分積分例

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ です。

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

ステップ 1.2

$2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 \arctan (\frac{t}{2})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ です。

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

ステップ 2.2

$f (t) = \arctan (t)$ および $g (t) = \frac{t}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t}{2}$ とします。

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t}{2}$ で置き換えます。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

ステップ 2.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 2.6

$\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

ステップ 2.7

$2$ を $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ の左に移動させます。

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

ステップ 2.8

$5$ と $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ をまとめます。

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{t}{2}$ に当てはめます。

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

ステップ 3.3.3

$2$ と $\frac{t^{2}}{4}$ をまとめます。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

ステップ 3.3.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$2$ を $2 t^{2}$ で因数分解します。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ をたし算します。

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.5.2

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

ステップ 3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

ステップ 3.7

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1

$5$ と $\frac{2}{t^{2} + 4}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

ステップ 3.7.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10}{t^{2} + 4}$

微分積分 例

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