微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{2}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 2.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 2.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 5.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

ステップ 5.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{4}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

ステップ 8.2

答えを簡約します。

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ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

ステップ 8.2.1.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

ステップ 8.2.1.4

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

ステップ 8.2.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.2.4

$\frac{4}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 8.2.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.2.5.1

$\frac{4}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 8.2.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 8.2.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 8.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 8.2.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.2.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.2.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.2.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.2.5.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 8.2.5.6.5

指数を求めます。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.2.6

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.1

$2$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 8.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 8.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2.6.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 8.2.6.2.4

$2 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- (2 \sqrt{2})$

ステップ 8.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sqrt{2}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 \sqrt{2}$

10進法形式：

$- 2.82842712 \dots$

微分積分 例

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