微分積分例

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$2$ を $2 x + 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

ステップ 1.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

ステップ 1.1.3

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

ステップ 1.2

$3 x$ を $3 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

ステップ 1.2.2

$3 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

ステップ 1.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (2)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

ステップ 3

$u = 3 x (x + 2)$ とします。次に $d u = (6 x + 6) d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 3 x (x + 2)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3 x (x + 2)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

ステップ 3.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x (x + 2)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

ステップ 3.1.3

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.4

微分します。

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ステップ 3.1.4.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.4.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 3.1.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.4.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

ステップ 3.1.4.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.1.4.6.1

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$3 (x + x + 2)$

ステップ 3.1.4.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$3 (2 x + 2)$

ステップ 3.1.5

簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

分配則を当てはめます。

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

ステップ 3.1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 3.1.5.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + 3 \cdot 2$

ステップ 3.1.5.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x + 6$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

ステップ 4.2

$6$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{1}{6}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 6.1.2

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 6.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 6.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 6.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 6.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 6.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $3 x (x + 2)$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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