微分積分例

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} - 1$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

ステップ 3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

ステップ 5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ および $0$ で $(x^{2} - 1) e^{x}$ の値を求めます。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

ステップ 6.2

$1$ および $0$ で $x e^{x}$ の値を求めます。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

ステップ 6.3

$1$ および $0$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.2

$1$ から $1$ を引きます。

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.3

簡約します。

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.4

$0$ に $e$ をかけます。

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.6

$0$ から $1$ を引きます。

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.9

$1$ に $1$ をかけます。

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.10

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.11

簡約します。

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.12

$e$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.13

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.14

$0$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.15

$e$ と $0$ をたし算します。

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 6.4.16

簡約します。

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

ステップ 6.4.17

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

ステップ 6.4.18

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 (e - (e - 1))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 - 2 (e - e - - 1)$

ステップ 7.1.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 2 (e - e + 1)$

ステップ 7.1.2

$e$ から $e$ を引きます。

$1 - 2 (0 + 1)$

ステップ 7.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 - 2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 2$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例