微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

ステップ 1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

ステップ 1.2.3.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

ステップ 1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

ステップ 1.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{0}{π - π}$

ステップ 1.3.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

ステップ 3.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $2 x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.6.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.7

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + 0}$

ステップ 3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{- 3}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

ステップ 4.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- 3}{2} \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

ステップ 5

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 6.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2}$

微分積分 例

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