微分積分例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ と $d v = \sqrt{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 5

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$1$ および $0$ で $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 5.2

$1$ および $0$ で $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ の値を求めます。

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.4

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.8

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.9

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.10.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.11

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.12

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.13

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.13.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.13.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.13.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.14

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.15

$\frac{4}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.17

$\frac{2}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.18

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

ステップ 5.3.19

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

ステップ 5.3.20

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.20.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

ステップ 5.3.20.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

ステップ 5.3.21

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

ステップ 5.3.22

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

ステップ 5.3.23

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

ステップ 5.3.24

$\frac{2}{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

ステップ 5.3.25

$\frac{2}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

ステップ 5.3.26

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

ステップ 5.3.27

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

ステップ 5.3.28

$\frac{4}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

ステップ 5.3.29

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.29.1

$\frac{4}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

ステップ 5.3.29.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

ステップ 5.3.30

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

ステップ 5.3.31

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.31.1

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20 - 4}{15}$

ステップ 5.3.31.2

$20$ から $4$ を引きます。

$\frac{16}{15}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{16}{15}$

10進法形式：

$1.0\overline{6}$

帯分数形：

$1 \frac{1}{15}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例