微分積分例

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ を掛けます。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x^{2} - 12) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

ステップ 1.3.3

$(x^{2} - 12) x$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x}{x (x^{2} - 12)} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

ステップ 2

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)} \cdot \frac{1}{x + 6}$

ステップ 2.2

$\frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}$ に $\frac{1}{x + 6}$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 6} (2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2

すべての $x$ に $- 6$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ を $- 6$ に代入し、 $(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)$ の極限値を求めます。

$\frac{(2 \cdot - 6 + 8) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{(- 12 + 8) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 12$ と $8$ をたし算します。

$\frac{- 4 \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2.2.3

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{24 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2.2.4

$- 6$ を $2$ 乗します。

$\frac{24 - (36 - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2.2.5

$36$ から $12$ を引きます。

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2.2.6

$- 1$ に $24$ をかけます。

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.2.3

$24$ から $24$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $- 6$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot lim_{x \to - 6} x^{2} - 12 \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $- 6$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot (lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

ステップ 3.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

ステップ 3.1.3.4

$x$ が $- 6$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

ステップ 3.1.3.5

$x$ が $- 6$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6)}$

ステップ 3.1.3.6

$x$ が $- 6$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

ステップ 3.1.3.7

すべての $x$ に $- 6$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1

$x$ を $- 6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

ステップ 3.1.3.7.2

$x$ を $- 6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

ステップ 3.1.3.7.3

$x$ を $- 6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

ステップ 3.1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.8.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

ステップ 3.1.3.8.1.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 12) \cdot (- 6 + 6)}$

ステップ 3.1.3.8.2

$36$ から $12$ を引きます。

$\frac{0}{- 6 \cdot 24 \cdot (- 6 + 6)}$

ステップ 3.1.3.8.3

$- 6$ に $24$ をかけます。

$\frac{0}{- 144 \cdot (- 6 + 6)}$

ステップ 3.1.3.8.4

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$\frac{0}{- 144 \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.8.5

$- 144$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.8.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$f (x) = 2 x + 8$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 x + 8] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 x + 8] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.3

総和則では、 $2 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.6

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.7

$2 x + 8$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + x (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + x (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.9

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + x \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.10

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + 2 \cdot x + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.3.11

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x^{2} - 12)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.4.2

総和則では、 $x^{2} - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.4.4

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.4.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.5

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

ステップ 3.3.6

$f (x) = x (x^{2} - 12)$ および $g (x) = x + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

ステップ 3.3.7

総和則では、 $x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

ステップ 3.3.9

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

ステップ 3.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

ステップ 3.3.11

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

ステップ 3.3.12

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 12] + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.13

総和則では、 $x^{2} - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.15

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.16

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.17

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.18

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.21

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1)}$

ステップ 3.3.22

$x^{2} - 12$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + x^{2} - 12)}$

ステップ 3.3.23

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

ステップ 3.3.24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.24.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

ステップ 3.3.24.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.4

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.24.5.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.24.5.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.24.5.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.2

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 \cdot x + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{1 + 2} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.6

$3$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.7

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot - 12}$

ステップ 3.3.24.5.8

$6$ に $- 12$ をかけます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

ステップ 3.3.24.5.9

$x^{3}$ と $3 x^{3}$ をたし算します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{4 x^{3} - 12 x + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

ステップ 3.3.24.5.10

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

ステップ 3.4

$2 x + 8$ と $4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x) + 8}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x) + 2 (4)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (4)$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

ステップ 3.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3}) + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

ステップ 3.4.4.2

$2$ を $18 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 24 x - 72}$

ステップ 3.4.4.3

$2$ を $2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) - 24 x - 72}$

ステップ 3.4.4.4

$2$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x) - 72}$

ステップ 3.4.4.5

$2$ を $2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) - 72}$

ステップ 3.4.4.6

$2$ を $- 72$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)}$

ステップ 3.4.4.7

$2$ を $2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)$ で因数分解します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

ステップ 3.4.4.8

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

ステップ 3.4.4.9

式を書き換えます。

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 4}{2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $- 6$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

ステップ 4.2

$x$ が $- 6$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

ステップ 4.3

$x$ が $- 6$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

ステップ 4.4

$x$ が $- 6$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

ステップ 4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 lim_{x \to - 6} x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

ステップ 4.6

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

ステップ 4.7

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

ステップ 4.8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

ステップ 4.9

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 36}$

ステップ 4.10

$x$ が $- 6$ に近づくと定数である $36$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

ステップ 5

すべての $x$ に $- 6$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $- 6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 6 + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

ステップ 5.2

$x$ を $- 6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 6 + 4}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

ステップ 5.3

$x$ を $- 6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 6 + 4}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

ステップ 5.4

$x$ を $- 6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 6 + 4}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 6$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 2}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 6$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 2}{2 \cdot - 216 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 216$ をかけます。

$\frac{- 2}{- 432 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

ステップ 6.2.3

$- 6$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 2}{- 432 + 9 \cdot 36 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

ステップ 6.2.4

$9$ に $36$ をかけます。

$\frac{- 2}{- 432 + 324 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

ステップ 6.2.5

$- 12$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{- 2}{- 432 + 324 + 72 - 1 \cdot 36}$

ステップ 6.2.6

$- 1$ に $36$ をかけます。

$\frac{- 2}{- 432 + 324 + 72 - 36}$

ステップ 6.2.7

$- 432$ と $324$ をたし算します。

$\frac{- 2}{- 108 + 72 - 36}$

ステップ 6.2.8

$- 108$ と $72$ をたし算します。

$\frac{- 2}{- 36 - 36}$

ステップ 6.2.9

$- 36$ から $36$ を引きます。

$\frac{- 2}{- 72}$

ステップ 6.3

$- 2$ と $- 72$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (1)}{- 72}$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$- 2$ を $- 72$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 36}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 36}$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{36}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{36}$

10進法形式：

$0.02\overline{7}$

微分積分 例

微分積分例