微分積分例

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 1

$4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ を $t^{2} + 4$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

ステップ 1.2

被除数 $4 t^{3}$ の最高次項を除数 $t^{2}$ の最高次項で割ります。

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 t^{3} + 0 + 16 t$ の符号をすべて変更します。

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

ステップ 1.7

被除数 $- t^{2}$ の最高次項を除数 $t^{2}$ の最高次項で割ります。

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- t^{2} + 0 - 4$ の符号をすべて変更します。

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 4

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 7

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$t^{2}$ と $4$ を並べ替えます。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

ステップ 8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

ステップ 9

$\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ です。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{t}{2})$ をまとめます。

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

ステップ 10.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$4$ と $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ をまとめます。

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

ステップ 10.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1

$2$ を $4 \arctan (\frac{t}{2})$ で因数分解します。

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

ステップ 10.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

ステップ 10.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 10.3.2.2.3

式を書き換えます。

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

ステップ 10.3.2.2.4

$2 \arctan (\frac{t}{2})$ を $1$ で割ります。

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

ステップ 10.4

項を並べ替えます。

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$

微分積分 例

微分積分例