微分積分例

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1 d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$2 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{3}{4}$ と $x^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 9.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 9.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.2.1

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 9.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 9.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{- 4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 12

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 13

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 14

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 16

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int - 1 d x$

ステップ 17

式を簡約します。

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ステップ 17.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 17.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 17.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 17.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 17.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 17.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 17.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 1 d x$

ステップ 18

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 1 d x$

ステップ 19

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - x + C$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

簡約します。

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5 x^{4}}{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

ステップ 20.2

項を並べ替えます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

ステップ 21

答えは関数 $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

微分積分 例

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