微分積分例

$3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

$3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 8

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 9

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.3

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.6

$- 6$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.6.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3)}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.6.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

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