微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 2.2.2

$4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 2.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 2.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

ステップ 4.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

ステップ 4.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 \cdot 0}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{4}}{1 - 2 \cdot 0}$

ステップ 6.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{1 - 2 \cdot 0}$

ステップ 6.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2}{1 - 2 \cdot 0}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{2}{1 + 0}$

ステップ 6.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{1}$

ステップ 6.3

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

微分積分 例

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