微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - \cos (5 x)$

ステップ 1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 2.4

$2 \cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 3.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

ステップ 3.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 \cdot 0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (0) - \cos (5 \cdot 0)$

ステップ 5.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 - \cos (5 \cdot 0)$

ステップ 5.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - \cos (5 \cdot 0)$

ステップ 5.1.4

$5$ に $0$ をかけます。

$2 - \cos (0)$

ステップ 5.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - 1$

ステップ 5.2

$2$ から $1$ を引きます。

$1$

微分積分 例

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