微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + 1 {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 1.2

${(4 x - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.5

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.7

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.8

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.9

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.9.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 3.10

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 5.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 5.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 5.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 5.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 7.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 7.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 7.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

ステップ 7.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{\infty \cdot {(4 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

$4$ から $0$ を引きます。

$\frac{\infty \cdot 4^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.4

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\infty \cdot 16 + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.5

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.6

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{\infty + {(4 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.7

$4$ から $0$ を引きます。

$\frac{\infty + 4^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.8

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\infty + 16}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.1.9

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\infty}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{\infty}{{(2 + 0)}^{3}}$

ステップ 9.2.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\infty}{2^{3}}$

ステップ 9.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\infty}{8}$

ステップ 9.3

無限大割る有限または0ではない数は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例