微分積分例

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 1

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

ステップ 4

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.2

まとめる。

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.6

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.7.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.7.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5.8

$\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 5.9

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 7.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 7.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 7.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 11

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 15.2

$- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

ステップ 15.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 15.4

分子を簡約します。

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ステップ 15.4.1

$2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 15.4.1.1

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

ステップ 15.4.1.2

$2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

ステップ 15.4.1.3

$2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

ステップ 15.4.1.4

$2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

ステップ 15.4.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

ステップ 15.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 15.4.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

ステップ 15.4.3.2

簡約します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

ステップ 15.4.4

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

ステップ 15.4.5

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

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ステップ 15.4.5.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

ステップ 15.4.5.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

ステップ 15.4.5.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

ステップ 15.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

ステップ 15.5

まとめる。

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

ステップ 15.6

共通因数を約分します。

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

ステップ 15.7

式を書き換えます。

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

ステップ 15.8

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

微分積分 例

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