微分積分例

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

ステップ 1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

ステップ 1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

ステップ 1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

ステップ 1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

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ステップ 6.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 9

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ステップ 9.1

簡約します。

$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 9.2.2

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 9.2.3

$- 5$ と $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ をまとめます。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

ステップ 9.2.4

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 9.2.5

$5$ を $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

ステップ 9.2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.6.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

ステップ 9.2.6.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

ステップ 9.2.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

ステップ 9.2.6.4

$- 2 x^{\frac{5}{2}}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例