微分積分例

$y = x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.6

$5$ に $1$ をかけます。

$x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.8

$\cos (5 x)$ に $1$ をかけます。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \cos (x))$

ステップ 1.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - 2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x \sin (5 x)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 5 (x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$- 5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.3.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$- 5 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$- 5 (x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.7

$5$ に $1$ をかけます。

$- 5 (x (\cos (5 x) \cdot 5) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.8

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$- 5 (x (5 \cdot \cos (5 x)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.2.9

$\sin (5 x)$ に $1$ をかけます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.4.1.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.4.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.4.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \cdot 1)$

ステップ 2.4.4

$5$ に $1$ をかけます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \cdot 5$

ステップ 2.4.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

ステップ 2.5.3

項をまとめます。

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ステップ 2.5.3.1

$5$ に $- 5$ をかけます。

$- 25 (x (\cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

ステップ 2.5.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 25 x \cos (5 x) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 5 \sin (5 x)$

ステップ 2.5.3.3

$- 5 \sin (5 x)$ から $5 \sin (5 x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 25 x \cos (5 x) - 10 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

微分積分 例

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