微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(\frac{1}{x})}^{x}$ を $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

ステップ 3

$x \ln (\frac{1}{x})$ を $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{x}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.4

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.9

$1$ から $2$ を引きます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.11

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 4.3.12

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 4.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 4.5

因数をまとめます。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

ステップ 4.5.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

ステップ 4.5.3

$\frac{1}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

ステップ 4.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

ステップ 4.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

ステップ 4.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

ステップ 4.6.2.3

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

ステップ 4.6.2.4

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

ステップ 4.6.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{0}$

ステップ 6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

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