微分積分例

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{2} - 6 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} - 6 x + 1$ で置き換えます。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.5

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.7

$- 6$ に $1$ をかけます。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

ステップ 1.2.9

$6 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.2.1

$3$ に $2$ をかけます。

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

ステップ 1.3.2.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

ステップ 1.3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

ステップ 1.3.3

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = (6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = 6 x - 6$ および $g (x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(6 x - 6) \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 2] + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $6 x^{2} - 12 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$(6 x - 6) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(6 x - 6) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(6 x - 6) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $6$ をかけます。

$(6 x - 6) (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.5

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(6 x - 6) (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(6 x - 6) (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.7

$- 12$ に $1$ をかけます。

$(6 x - 6) (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.8

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(6 x - 6) (12 x - 12 + 0) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.9

$12 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

ステップ 2.2.10

総和則では、 $6 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 2.2.11

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 2.2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 2.2.13

$6$ に $1$ をかけます。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 2.2.14

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + 0)$

ステップ 2.2.15

式を簡約します。

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ステップ 2.2.15.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \cdot 6$

ステップ 2.2.15.2

$6$ を $6 x^{2} - 12 x + 2$ の左に移動させます。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 \cdot (6 x^{2} - 12 x + 2)$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$(6 x - 6) (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.4

分配則を当てはめます。

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5

項をまとめます。

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ステップ 2.3.5.1

$12$ に $6$ をかけます。

$72 x \cdot x - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$72 (x^{1} x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$72 (x^{1} x^{1}) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$72 x^{1 + 1} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$72 x^{2} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.6

$12$ に $- 6$ をかけます。

$72 x^{2} - 72 x + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.7

$- 12$ に $6$ をかけます。

$72 x^{2} - 72 x - 72 x - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.8

$- 6$ に $- 12$ をかけます。

$72 x^{2} - 72 x - 72 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.9

$- 72 x$ から $72 x$ を引きます。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.10

$6$ に $6$ をかけます。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.11

$- 12$ に $6$ をかけます。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.5.12

$6$ に $2$ をかけます。

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 12$

ステップ 2.3.5.13

$72 x^{2}$ と $36 x^{2}$ をたし算します。

$108 x^{2} - 144 x + 72 - 72 x + 12$

ステップ 2.3.5.14

$- 144 x$ から $72 x$ を引きます。

$108 x^{2} - 216 x + 72 + 12$

ステップ 2.3.5.15

$72$ と $12$ をたし算します。

$f'' (x) = 108 x^{2} - 216 x + 84$

微分積分 例

微分積分例