微分積分例

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

ステップ 4

$u = 2 x - 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

ステップ 5.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 7.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ を $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{u}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + C$

微分積分 例

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