微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ at $x = - 2$

ステップ 1

$x = - 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$y = 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2)$

ステップ 1.2

$3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2)$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = 3 \cdot 4 + 4 (- 2)$

ステップ 1.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$y = 12 + 4 (- 2)$

ステップ 1.2.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$y = 12 - 8$

ステップ 1.2.2

$12$ から $8$ を引きます。

$y = 4$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$6 x + 4$

ステップ 2.4

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$6 (- 2) + 4$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$6$ に $- 2$ をかけます。

$- 12 + 4$

ステップ 2.5.2

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 8$ と与えられた点 $(- 2, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 8 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 - 8 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = - 8 x - 8 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 8$ に $2$ をかけます。

$y - 4 = - 8 x - 16$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = - 8 x - 16 + 4$

ステップ 3.3.2.2

$- 16$ と $4$ をたし算します。

$y = - 8 x - 12$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例