微分積分例

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 2.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.1.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

ステップ 2.5.1.5

指数を求めます。

$u_{upper} = 1 + 3$

ステップ 2.5.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

ステップ 7

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$4$ および $1$ で $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 8.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 8.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

共通因数を約分します。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 8.2.3.2

式を書き換えます。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 8.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 8.2.5

$2$ に $8$ をかけます。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 8.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

ステップ 8.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 8.2.8

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{16 - 2}{3}$

ステップ 8.2.9

$16$ から $2$ を引きます。

$3 (\frac{14}{3})$

ステップ 8.2.10

$3$ と $\frac{14}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

ステップ 8.2.11

$3$ に $14$ をかけます。

$\frac{42}{3}$

ステップ 8.2.12

$42$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.12.1

$3$ を $42$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

ステップ 8.2.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.12.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

ステップ 8.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

ステップ 8.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{14}{1}$

ステップ 8.2.12.2.4

$14$ を $1$ で割ります。

$14$

ステップ 9

微分積分 例

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