微分積分例

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 5

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 7

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 8

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

ステップ 10

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

ステップ 11

べき乗則では、 $t^{3}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{4} t^{4}$ です。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{4}$ と $t^{4}$ をまとめます。

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

ステップ 12.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$x$ および $0$ で $t$ の値を求めます。

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

ステップ 12.2.2

$x$ および $0$ で $\frac{t^{2}}{2}$ の値を求めます。

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

ステップ 12.2.3

$x$ および $0$ で $\frac{t^{3}}{3}$ の値を求めます。

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

ステップ 12.2.4

$x$ および $0$ で $\frac{t^{4}}{4}$ の値を求めます。

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.3

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.3.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.3.2.3

式を書き換えます。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.5

$\frac{x^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.6

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.7.1

共通因数を約分します。

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.7.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.9

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.9.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.9.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.9.2.2

共通因数を約分します。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.9.2.3

式を書き換えます。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.9.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.10

$- 1$ に $0$ をかけます。

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.11

$\frac{x^{3}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.12

$3$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.13

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.13.1

共通因数を約分します。

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.13.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

ステップ 12.2.5.14

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

ステップ 12.2.5.15

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.15.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

ステップ 12.2.5.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.15.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

ステップ 12.2.5.15.2.2

共通因数を約分します。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

ステップ 12.2.5.15.2.3

式を書き換えます。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

ステップ 12.2.5.15.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

ステップ 12.2.5.16

$- 1$ に $0$ をかけます。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

ステップ 12.2.5.17

$\frac{x^{4}}{4}$ と $0$ をたし算します。

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

ステップ 12.2.5.18

$4$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

ステップ 12.2.5.19

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.19.1

共通因数を約分します。

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

ステップ 12.2.5.19.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$

微分積分 例

微分積分例