微分積分例

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.8

公分母の分子をまとめます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.9.2

$1$ から $3$ を引きます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.2.12

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.2.13

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.1.2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.15

$3$ と $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.16

共通因数を約分します。

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.1.2.17

式を書き換えます。

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

総和則では、 $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 1.1.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.2.2.3

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 1$ とします。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.2.2.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.2.2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.2.2.4

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 1.1.2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 1.1.2.2.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.7

${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.7.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.7.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.7.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.9

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.10

公分母の分子をまとめます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.11.2

$2$ から $3$ を引きます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.2.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.2.14

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.2.15

$\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.2.2.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.2.2.17

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ をまとめます。

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.2.2.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 1.1.2.2.19

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.19.1

${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ を移動させます。

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.1.2.2.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.2.2.19.3

公分母の分子をまとめます。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

ステップ 1.1.2.2.19.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.1.2.3

$0$ から $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ です。

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 1.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 2.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$x + 3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}$

ステップ 2.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$x + 3 \sqrt[3]{x - 1}$

ステップ 2.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が負なので、グラフは下に凹です。

グラフは下に凹です。

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例