微分積分例

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

ステップ 1

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 1} d x$

ステップ 4

$x^{4}$ を ${(x^{4})}^{1}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{4})}^{1} + 1} d x$

ステップ 5

$u_{1} = x^{4}$ とします。次に $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = x^{4}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x^{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 5.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3}$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{u_{1} + 1}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

ステップ 6.3

$4$ を $u_{1} + 1$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

ステップ 8

$u_{2} = u_{1} + 1$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = u_{1} + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$u_{1} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $u_{1} + 1$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 8.1.4

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{2}$ のすべての発生を $u_{1} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

ステップ 11.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

微分積分 例

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