微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 2

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ と $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 3

$0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ と $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

ステップ 4.4

$\sec^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

ステップ 5.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

ステップ 7.1.1.2

式を書き換えます。

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

ステップ 7.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

ステップ 7.1.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 + 0 + 1^{2}$

ステップ 7.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 + 0 + 1$

ステップ 7.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 + 1$

ステップ 7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

微分積分 例

微分積分例