微分積分例

$7^{\sqrt{x} + 2}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

ステップ 2

$f (x) = 7^{x}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}} + 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 2.2

$a$ = $7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} + 2$ で置き換えます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ をまとめます。

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \ln (7)$

ステップ 10.3

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\ln (7)$ をまとめます。

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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