微分積分例

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$

ステップ 1

$e^{2 θ}$ と

$\sin (2 θ)$ を並べ替えます。

$\int \sin (2 θ) e^{2 θ} d θ$

ステップ 2

$u = \sin (2 θ)$ と

$d v = e^{2 θ}$ ならば、公式

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (2 \cos (2 θ)) d θ$

ステップ 3

$\frac{1}{2} \cdot 2$ は

$θ$ に対して定数なので、

$\frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と

$e^{2 θ}$ をまとめます。

$\sin (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 4.2

$\sin (2 θ)$ と

$\frac{e^{2 θ}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 4.4

$e^{2 θ}$ と

$\cos (2 θ)$ を並べ替えます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 θ) e^{2 θ} d θ)$

ステップ 5

$u = \cos (2 θ)$ と

$d v = e^{2 θ}$ ならば、公式

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ))$

ステップ 6

$\frac{1}{2} \cdot - 2$ は

$θ$ に対して定数なので、

$\frac{1}{2} \cdot - 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と

$e^{2 θ}$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

ステップ 7.2

$\cos (2 θ)$ と

$\frac{e^{2 θ}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ と

$- 2$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

ステップ 7.5

$\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

ステップ 7.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$2$ に

$2$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

ステップ 7.6.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

ステップ 7.6.3

$\frac{2}{2}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

ステップ 7.7

$\frac{- 2}{2}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

ステップ 7.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$- 2$ に

$2$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

ステップ 7.8.2

$2$ に

$2$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

ステップ 8

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ を解くと、

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ =

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2$ を

$\cos (2 θ) e^{2 θ}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.2

$2$ と

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$2$ を

$2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1

$2$ を

$4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

ステップ 9.1.3

$8$ と

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$4$ を

$8$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

ステップ 9.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.2.1

$4$ を

$4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

ステップ 9.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

ステップ 9.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

ステップ 9.1.3.2.4

$2$ を

$1$ で割ります。

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

ステップ 9.1.4

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

ステップ 9.1.5

まとめる。

$\frac{2 (\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.7.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.8

$- 1$ に

$2$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - 2 \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.9

$- 2$ と

$\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- 2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.10

$- 2$ と

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.10.1

$2$ を

$- 2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.10.2.1

$2$ を

$2$ で因数分解します。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- \cos (2 θ) e^{2 θ}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.10.2.4

$- \cos (2 θ) e^{2 θ}$ を

$1$ で割ります。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 9.1.11

$2$ に

$2$ をかけます。

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$

ステップ 9.2

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$ を

$\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$

微分積分 例

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