微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

ステップ 1

$x \ln (x + x^{2})$ を $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x + x^{2})$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6.2

$x$ を $x + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6.2.3

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x \cdot x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6.3

$1 + 2 x$ に $\frac{1}{x (1 + x)}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 2.3.8

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

ステップ 2.3.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

ステップ 2.5

$\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

ステップ 2.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$x$ を $(1 + 2 x) x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

ステップ 2.6.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

ステップ 2.7

$- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

ステップ 3.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

ステップ 3.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

ステップ 3.7

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 3.8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ に $1 + 2 \cdot 0$ をかけます。

$- \frac{0}{1 + 0}$

ステップ 5.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{0}{1}$

ステップ 5.3

$0$ を $1$ で割ります。

$- 0$

ステップ 5.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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