微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (3 x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (3 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

ステップ 1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

ステップ 1.3

$\frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ を $\sin (x) \cot (3 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \sin (x) \cot (3 x)$

ステップ 2

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (x) \cot (3 x)$

ステップ 3

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\sin (x) \cot (3 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (x) \cot (3 x) \\ - 0.1 & 0.32273429 \\ - 0.01 & 0.33322777 \\ - 0.001 & 0.33333227 \end{array}$

ステップ 4

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.333$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\sin (x) \cot (3 x)$ の極限は $0.333$ です。

$0.333$

ステップ 5

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cot (3 x)$

ステップ 6

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\sin (x) \cot (3 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (x) \cot (3 x) \\ 0.1 & 0.32273429 \\ 0.01 & 0.33322777 \\ 0.001 & 0.33333227 \end{array}$

ステップ 7

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.333$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\sin (x) \cot (3 x)$ の極限は $0.333$ です。

$0.333$

微分積分 例