微分積分例

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$

ステップ 1

総和則では、 $2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d}{d x} [2 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \tan (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cot (x) \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$ です。

$2 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x)) + 2 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \sec^{2} (x) + 2 \cot (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \csc^{2} (x)$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \cot (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.2

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.2.2

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.2.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.3

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.6

$- 2$ と $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.7

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.7.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4.9

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 4.4.10

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.4.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.4.12

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.6

$2 \cos^{2} (x)$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{- 2 + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.7

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.8

$- 2$ を $2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.9

$- 2$ を $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.10

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.11

$\sin^{2} (x)$ と $\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.1

$\sin (x)$ を $- 2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sin (x)}{1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.11.2.4

$- 2 \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.12

各項を簡約します。

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ステップ 4.12.1

$1$ を掛けます。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

ステップ 4.12.2

分数を分解します。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.12.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x)$

ステップ 4.12.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- 2 \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

微分積分 例

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