微分積分例

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

ステップ 1

$\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\sin^{2} (x)$ は $θ$ に対して定数なので、 $\sin^{2} (x)$ を積分の外に移動させます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

ステップ 1.2

$u = \sin (θ)$ とします。次に $d u = \cos (θ) d θ$ すると、 $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.2.1

$u = \sin (θ)$ とします。 $\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$\sin (θ)$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 1.2.1.2

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$\cos (θ)$

ステップ 1.2.2

$u = \sin (θ)$ の $θ$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.2.4

$u = \sin (θ)$ の $θ$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (2 π)$

ステップ 1.2.5

簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{upper} = \sin (0)$

ステップ 1.2.5.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

ステップ 1.3

$u (\sin (x) - u)$ を展開します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

ステップ 1.3.2

$u$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

ステップ 1.3.3

負をくくり出します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

ステップ 1.3.4

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

ステップ 1.3.5

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

ステップ 1.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

ステップ 1.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

ステップ 1.3.8

$u \sin (x)$ と $- u^{2}$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

ステップ 1.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

ステップ 1.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

ステップ 1.6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

ステップ 1.7

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

ステップ 1.8

$\sin (x)$ は $u$ に対して定数なので、 $\sin (x)$ を積分の外に移動させます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

ステップ 1.9

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

ステップ 1.10

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

ステップ 1.11

代入し簡約します。

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ステップ 1.11.1

$0$ および $0$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

ステップ 1.11.2

$0$ および $0$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3

簡約します。

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ステップ 1.11.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.2

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.3.2.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.3.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.4

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.3.4.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.3.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.9

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.3.9.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.9.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.10

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.11

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.3.11.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

ステップ 1.11.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.3.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

ステップ 1.11.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

ステップ 1.11.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

ステップ 1.11.3.11.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

ステップ 1.11.3.12

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

ステップ 1.11.3.13

$0$ と $0$ をたし算します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

ステップ 1.11.3.14

$\sin (x)$ に $0$ をかけます。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

ステップ 1.11.3.15

$0$ と $0$ をたし算します。

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

ステップ 1.11.3.16

$\sin^{2} (x)$ に $0$ をかけます。

$\int_{0}^{π} 0 d x$

ステップ 2

$\int_{0}^{π} 0 d x$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$0]_{0}^{π}$

ステップ 2.2

代入し簡約します。

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ステップ 2.2.1

$π$ および $0$ で $0$ の値を求めます。

$(0) + 0$

ステップ 2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

微分積分 例

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