微分積分例

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

ステップ 1

$u = \frac{1}{2} t$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d t$ すると、 $2 d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = \frac{1}{2} t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1}{2} t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{1}{2} t$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 1.2

$u = \frac{1}{2} t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{3}$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

ステップ 1.4

$u = \frac{1}{2} t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

ステップ 2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

ステップ 2.3

$2$ を $\csc^{2} (u)$ の左に移動させます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

ステップ 3

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

ステップ 4

$- \cot (u)$ の微分係数が $\csc^{2} (u)$ なので、 $\csc^{2} (u)$ の積分は $- \cot (u)$ です。

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 5

$\frac{π}{3}$ および $\frac{π}{6}$ で $- \cot (u)$ の値を求めます。

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cot (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

ステップ 6.2

$\cot (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

ステップ 7.2

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 7.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{\sqrt{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.1.2.6.5

指数を求めます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 8.2

$2 \sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 8.3

$2 \sqrt{3}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 8.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 8.5.2

$- 2 \sqrt{3}$ と $6 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$2.30940107 \dots$

微分積分 例

微分積分例