微分積分例

$\int {(x^{2} + 1)}^{3} x^{3} d x$

ステップ 1

${(x^{2} + 1)}^{3} x^{3}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二項定理を利用します。

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{3} d x$

ステップ 1.2

累乗法を積に書き換えます。

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{3} d x$

ステップ 1.3

累乗法を積に書き換えます。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{3} d x$

ステップ 1.4

累乗法を積に書き換えます。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{3} d x$

ステップ 1.5

累乗法を積に書き換えます。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3}) x^{3} d x$

ステップ 1.6

累乗法を積に書き換えます。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2}) x^{3} d x$

ステップ 1.7

累乗法を積に書き換えます。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1)) x^{3} d x$

ステップ 1.8

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1)) x^{3} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{3} d x$

ステップ 1.9

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1) x^{3} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{3} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{3} d x$

ステップ 1.10

分配則を当てはめます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 x^{3} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{3} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{3} d x$

ステップ 1.11

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{3} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{3} d x$

ステップ 1.12

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{3} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{3} d x$

ステップ 1.13

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{3} d x$

ステップ 1.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.15

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{4} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{4 + 2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.17

$4$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{6} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{6 + 3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.19

$6$ と $3$ をたし算します。

$\int x^{9} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.20

$3$ に $1$ をかけます。

$\int x^{9} + 3 x^{2} x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{9} + 3 x^{2 + 2} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.22

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{9} + 3 x^{4} x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{9} + 3 x^{4 + 3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.24

$4$ と $3$ をたし算します。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.25

$3$ に $1$ をかけます。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.26

$3$ に $1$ をかけます。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 x^{2} x^{3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.27

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 x^{2 + 3} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.28

$2$ と $3$ をたし算します。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 x^{5} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.29

$1$ に $1$ をかけます。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 x^{5} + 1 \cdot 1 x^{3} d x$

ステップ 1.30

$1$ に $1$ をかけます。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 x^{5} + 1 x^{3} d x$

ステップ 1.31

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\int x^{9} + 3 x^{7} + 3 x^{5} + x^{3} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{9} d x + \int 3 x^{7} d x + \int 3 x^{5} d x + \int x^{3} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{9}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{10} x^{10}$ です。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + \int 3 x^{7} d x + \int 3 x^{5} d x + \int x^{3} d x$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + 3 \int x^{7} d x + \int 3 x^{5} d x + \int x^{3} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{7}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{8} x^{8}$ です。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + 3 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int 3 x^{5} d x + \int x^{3} d x$

ステップ 6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + 3 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 3 \int x^{5} d x + \int x^{3} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + 3 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int x^{3} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + 3 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{1}{8}$ と $x^{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + 3 (\frac{x^{8}}{8} + C) + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{6}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$\frac{1}{10} x^{10} + C + 3 (\frac{x^{8}}{8} + C) + 3 (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

$\frac{x^{10}}{10} + \frac{3 x^{8}}{8} + \frac{x^{6}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{10} x^{10} + \frac{3}{8} x^{8} + \frac{1}{2} x^{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

微分積分 例

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