微分積分例

$y = 8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{- 7}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

ステップ 3.2.2

$n = - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (- 7 x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

ステップ 3.2.3

$- 7$ に $8$ をかけます。

$- 56 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- 56 x^{- 8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

ステップ 3.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 56 x^{- 8} + 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

ステップ 3.3.3

$5$ に $2$ をかけます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5}{x^{3}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.4.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.4.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 3.4.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 3.4.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 3.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 3.4.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.4.8

$- 3$ に $- 5$ をかけます。

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

ステップ 3.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.5.3

項をまとめます。

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ステップ 3.5.3.1

$- 56$ と $\frac{1}{x^{8}}$ をまとめます。

$\frac{- 56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.5.3.3

$15$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}}$

ステップ 3.5.4

項を並べ替えます。

$10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

微分積分 例

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