微分積分例

$f (x, y) = x + y + x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

ステップ 2

$f$ に行列の各要素を掛けます。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x + y + x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

ステップ 3.4.4

$y$ に $1$ をかけます。

$1 + y' + x y' + y$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$x y' + y + 1 + y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ として書き換えます。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

ステップ 5.2

$\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$x$ に行列の各要素を掛けます。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

ステップ 5.2.2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$x$ を移動させます。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

ステップ 5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

ステップ 5.4

$y'$ を $x y' + y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

ステップ 5.4.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

ステップ 5.4.4

$y'$ を $y' x + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

ステップ 5.5

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ の各項を $x + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ の各項を $x + 1$ で割ります。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 5.5.3.1.2

$\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 5.5.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 5.5.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

ステップ 5.5.3.2

1つの分数にまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

ステップ 5.5.3.2.2

$\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

微分積分 例

微分積分例