微分積分例

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 4

$\sqrt{x}$ を $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{x}$ を $x \sqrt{x}$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

$1$ を掛けます。

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

$\sqrt{x}$ を $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 5.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 5.2.3

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 5.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 5.2.3.3

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 5.2.3.4

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 5.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 5.2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.6.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 5.2.3.6.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 5.2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

ステップ 6

$x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

ステップ 6.2

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.6

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.7

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 11.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

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