微分積分例

$\int x^{3} \ln ({(x)}^{2}) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x^{2})$ と $d v = x^{3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x^{2}) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\ln (x^{2}) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (x^{2})$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{2}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{4}$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4} \cdot 2}{x} d x)$

ステップ 4.2

$2$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 \cdot x^{4}}{x} d x)$

ステップ 4.3

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x} d x)$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 x^{3}}{1} d x)$

ステップ 4.3.2.5

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (2 \int x^{3} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) \int x^{3} d x$

ステップ 6.2

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 2}{4} \int x^{3} d x$

ステップ 6.3

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 (- 1)}{4} \int x^{3} d x$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2} \int x^{3} d x$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} \int x^{3} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$ に書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

ステップ 8.2.2

$\frac{x^{4}}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + C$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{8} x^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例