微分積分例

$(x^{2} - 3) e^{- x}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 3$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$(x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 3.3.2

$- 1$ を $(x^{2} - 3) e^{- x}$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 3.3.3

$- 1 (x^{2} - 3)$ を $- (x^{2} - 3)$ に書き換えます。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 3.4

総和則では、 $x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

ステップ 3.7

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(- x^{2} - - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$- x^{2} e^{- x} - - 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

ステップ 4.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

ステップ 4.5

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

微分積分 例

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