微分積分例

$f (x) = 5 x^{2} (x + 47)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2} (x + 47)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 47$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x + 47$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ です。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.3

$47$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $47$ の微分係数は $0$ です。

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

ステップ 1.3.6

$2$ を $x + 47$ の左に移動させます。

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

ステップ 1.4.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

ステップ 1.4.4

項をまとめます。

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ステップ 1.4.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

ステップ 1.4.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

ステップ 1.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

ステップ 1.4.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

ステップ 1.4.4.5

$2$ に $5$ をかけます。

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

ステップ 1.4.4.6

$2$ に $47$ をかけます。

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

ステップ 1.4.4.7

$94$ に $5$ をかけます。

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

ステップ 1.4.4.8

$5 x^{2}$ と $10 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $15 x^{2} + 470 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $15$ をかけます。

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [470 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$470$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $470 x$ の微分係数は $470 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x + 470 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$470$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x + 470$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $30 x + 470$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ です。

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [30 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

ステップ 3.2.3

$30$ に $1$ をかけます。

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$470$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $470$ の微分係数は $0$ です。

$30 + 0$

ステップ 3.3.2

$30$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 30$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $30$ です。

$30$

微分積分 例

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