微分積分例

$4 x \ln (x)$

ステップ 1

$4 x \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 x \ln (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 x \ln (x) d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x \ln (x) d x$

ステップ 5

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6.4

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

ステップ 6.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

ステップ 9.2

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ を $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ に書き換えます。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = 4 x \ln (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$

微分積分 例

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